混合策略纳什均衡

今天在hi群里碰到一个很nice的题目，如下：

你正在图书馆枯坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪，并要求和你一起玩个游戏。美女提议：“让我们各自随机亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你3元，如果我们都是反面，我给你1元，剩下的情况你给我2元就可以了。”该不该玩这个游戏呢？这个游戏公平吗？

可以先列个概率的公式来看看
设man以m概率正，woman以w概率正。
man的期望收益为3mw+(1-m)*(1-w)-2m(1-w)-2(1-m)w=8mw-3m-3w+1
当w取3/8时，无论man什么策略，期望稳定-1/8，而当m曲3/8时，无论woman是什么策略，期望稳定是-1/8

有一点值得注意，即如果woman选择不选择3/8，而man选择了3/8，那么woman是稳赢1/8，而假如woman选择3/8，而man不选择3/8，那么woman赢的要大于1/8，那么woman当然要选择3/8。

同理，对于man，假如man选择3/8，而woman不管选什么那么man是稳输1/8，而假如man不选择3/8，那么他输的会大于1/8，那么man当然要选择3/8。

现在就达到了一种状态，woman和man都用3/8的概率出正，称为混合策略纳什均衡，也就是说，如果一个策略组合使任何一个参与人的策略都是相对于其他参与人的策略的最佳策略，这个策略就构成一个纳什均衡，不管这个策略是混合策略还是纯策略。

参考文献：

智库百科：混合策略纳什均衡，纯策略纳什均衡，纳什均衡

维基百科：策略_(博弈論)，博弈理论，納什均衡點