MIT线性代数-1：方程组的几何解释

本节课主要是从三种几何角度来解释了方程组（或者说matrix于vector的乘法），一种角度是row picture，另一种则是column picture，还有big picture。下面就课程的一些例子做一个summary。

示例1：两个方程组和两个未知数

方程组和对应的matrix如下

方程组和对应的矩阵

row picture： 一次取一行，在平面上作图，每个方程就是一条直线，直线的交点就是方程的解，如下图：

column picture：找到正确的线性组合（linear combination），列向量的线性组合，用两个向量得到第三个向量，如下图

big picture：上面的两个向量的任意组合将得到一个平面，线性组合可以得到b，所有的线性组合得到所有的b，即整个平面（高维为超平面），线代的思想的基础即是线性组合。

示例2：三个方程组和三个未知数

和两个的比较类似，只不过维度多了一维，列一下。

row picture：三个方程对应三个平面，解是三个平面的交点（当然需要三个平面不平行）

column picture：则是三维空间的向量的线性组合

big picture：左侧矩阵不变，不同的线性组合可以构成整个三维空间，即AX = b，不论b是多少，X都有解（对于上图中的A）。而对于更多的方程和未知数，对应更高维度的矩阵A，道理其实是一致的，假如A中的列向量是线性无关的（即相互独立），他们能组成整个维度空间的所有向量，而假如线性有关（即有的列向量可以由其他向量组合而成，则改列向量相当于没有贡献），那么他们只能组成一个平面，甚至以条直线。

矩阵和向量的乘法的理解

AX可以认为是A的线性组合方式理解，计算AX可以像上图一样，以列的线性组合的方式进行，推荐用这种方法来思考，对矩阵的理解有益。

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