线性代数-2：矩阵消元

本节课的主要内容如下

• elimination 消元


• back-substitution 回代


• elimination matrices 消元矩阵


• matrix multiplication 矩阵乘法

消元

矩阵消元法解方程，也是计算机程序使用的方法；消元法奏效的情况，matrix is a good matrix；使用矩阵消元，既可以知道矩阵是不是一个好矩阵。消元后，回代，即可求解方程

我们本次要解决的AX = b

第一步

消元的目的，消去某个未知变量

先确定第一个主元（pivot）x，如A11，消去方程二和三种中的x，主元行不变，对第二行进行消元（行二减去主元行的某个倍数）

消元的时候可以先不管右侧矩阵，先看左侧（matlab也是这么做的，先算左侧A，再算右侧b）

第二个主元是A22，想消去方程三种的y，即3,2 step

第三个主元是A33

U 上三角矩阵，消元的目的是从A得到U

主元不能为0，为0即fail了，上面的success了，下面讨论下failure的消元，即得不到三个主元

如果0占据了主元的位置，需要做行交换，从下面的方程得到合适的主元，如果某行最终都为0了，则矩阵不可逆（下节课的内容），消元就fail了，行交换解决主元为0的临时问题，但是假如下面也没有可交换的行了，那么消元就fail了

回代

首先将右侧向量带入，将右侧向量放到矩阵中（最右列），即增广矩阵augmented matrix,对这一列的每行做消元时候相同的操作

回代就是把新的矩阵转换成方程组，UX=c算出未知数的值，从下网上，依次算出z y x，是反向的。

消元矩阵

矩阵变化，虽然之前在用矩阵，但是之前的操作，即消元步骤，并不是用矩阵来表示，下面就引入消元矩阵的概念。

矩阵乘法的一些思想

matirx * column = column

row * matrix = row

一步一步来，每次一个消元矩阵，下面是第一个消元矩阵

上图左为elementary matrix 即初等矩阵E21，表示位置目的把2 1 变成0。

然后是第二个消元矩阵

两步，消元就完成了。

其他：

把上面的消元矩阵结合起来如下

上式即矩阵相乘的结合律。

还有另一种初等矩阵，用于交换行的，or 置换，行交换，列交互，都可以使用单位阵来找置换矩阵

置换行的单位阵在左侧，置换列的单位阵在右侧。

同时引入矩阵的逆：

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