线性代数-5：转置-置换-向量空间R

本节的内容有三部分

• 置换permutations


• 转置transpose


• 然后真正进入线代的大门，向量空间

Permutations

置换矩阵P，用来完成行互换的矩阵（如消元，遇到主元为0的时候），之前我们做的A=LU分解，是假设了没有行变化，这里面的P本质上相当于单位阵，限制取消限制，怎么做？

PA = LU，先做P变化，将A变成主元不会出现0的情况，这样LU可以和以前一样，因此P是关键，P = identity matrix with reordered rows

有n！种n * n的置换阵，一些性质，而且都可逆，并且逆矩阵于其转置相等PT * P = I

Transpose

转置（后续为了方便，记做P’，像matlab一样）

行列互换，共识如下

相关的一个应用广泛的矩阵是对称矩阵，对称矩阵（A’ = A），转置不变性

可以轻易造一个对称阵出来，如将上面的A’ * A，R’R is always symmetric，例子

理论上证明(R’R)’ = R’(R’)’ = R’R

向量空间R

Vector spaces

举例R^2，是一个平面，所有2维向量组成的空间，所有向量空间必须包括原点，向量运算结果页在该向量所在的空间

R^n 包含所有的n维向量，这里的向量都是column vector

性质：数乘，向量加法，取线性组合依然在R^n中，即封闭的

R^2的一个部分不能称为向量空间，比如第一象限，只有整数，运算不是封闭的

我们关注的更多的是R^n的子空间，它不是整个R^n，但是满足向量空间的性质，如在R^2中的一条过原点的直线，满足向量空间的性质，就是向量空间，这就是子空间的一个例子。但是不过原点的就不是，因为数乘0得到的是原点

subspace of R^2

1. all of R^2本身


2. 过原点的直线


3. 原点

R^3的比较类似，比如过原点的面和直线，其他，如在R^3中

取两列向量的所有线性组合，可以得到一个向量空间，叫column space C(A)，结果是整个平面（在这个维度很自然可以看出，高维较难），当然通过原点。

本讲的核心，列向量的线性组合可以构成向量子空间

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