线性代数-6：列空间和零空间

本节主要关注列空间（column space）和零空间 （null space）

子空间

子空间首先必须是向量空间，而且在另一个空间之中，即subspace 是vector space中的vector space。举例子，来看R^3的子空间，首先R^3是向量空间，R^3的subspace，如任意穿过原点的平面任意穿过原点的置信

子空间的交和并，假如有两个subspace，plane P和line L

∪：P U L是subspace吗？no，简单的可以找到vector加法不封闭

∩：P ∩ L是subspace吗？yes，交集要么是原点，要么是过原点的line

更一般的问题，Subspace S 和Ｔ，intersection S ∩ T is a subspace

证明：

• v和w是属于S ∩ T的


• 因此v和w属于S，而S是subspace，因此v + w是属于S的


• 同理v + ｗ是属Ｔ的


• 因此v + w是属于S∩T的


• 即加法的条件是满足的，乘法的条件类似可以证明

强调一下vector space的条件

v + w 和 CV are in the space

vector space的列向量的线性组合还在vector space中

列空间C(A) colunm space of A

column space of matrix A is all linear combinations of columns

那么究竟是什么样的子空间呢？是整个R^4还是小一点的真子空间？到底有多小？显然不是整个空间，只是一部分（，3个列向量的线性组合无法充满整个4维空间。），在上图中，C(A)是A的列的线性组合。

同方程组量联系起来 Ax = b，对哪些b方程有解？并不是总有解的，因为对于上面的A，有4个方程和3个未知数。什么样的b才能让方程组有解？如b=全0，b是A中的某一列，也可以先把x列出来，然后去求b，也即有解的b的条件及是b是A的列空间的向量，因为Ax即A列的线性组合。

此外，观察一下，这3列向量是线性相关的，去掉某一列仍然可以组成之前的向量空间，如列三

C(A)是R^4的一个2维的subspace。

零空间N(A) null space of A

还是用A来举例子N(A)，null space是一个很特殊的space，null space of A = all solutions x to Ax=0

首先从x可以看出，是R^3中的空间，下面来看看解有哪些，零向量显然是，又如[1, 1, -1]，扩展为，即一条直线c[1, 1, -1]，是一个subspace，可以通过前面的条件来check，比较简单，如下，假设v和w在零空间，Av = 0，Aw = 0，则A（v+w）= 0，那么v+w也在零空间，数乘类似

向量空间的关键

对于某个b，非0，不再考虑null space

如果有解，解构成子空间吗？显然不构成，因为显然的解中不包含原点，因此不是向量空间

那么是什么样的呢？[1, 0, 0]是一个解，[0, -1, 1]也是一个解，他们可能是一个不穿过原点的直线或者平面

总结，两种得到subspace的方法

可以从几个向量，通过线性组合，得到b，列空间

也可以从一个方程组中让x满足某种条件来找到子空间，如Ax=0，得到x，零空间。

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