线性代数-6：列空间和零空间

本节主要关注列空间（column space）和零空间 （null space）

子空间

子空间首先必须是向量空间，而且在另一个空间之中，即subspace 是vector space中的vector space。举例子，来看R^3的子空间，首先R^3是向量空间，R^3的subspace，如任意穿过原点的平面任意穿过原点的置信

子空间的交和并，假如有两个subspace，plane P和line L

∪：P U L是subspace吗？no，简单的可以找到vector加法不封闭

∩：P ∩ L是subspace吗？yes，交集要么是原点，要么是过原点的line

更一般的问题，Subspace S 和Ｔ，intersection S ∩ T is a subspace

证明：

• v和w是属于S ∩ T的


• 因此v和w属于S，而S是subspace，因此v + w是属于S的


• 同理v + ｗ是属Ｔ的


• 因此v + w是属于S∩T的


• 即加法的条件是满足的，乘法的条件类似可以证明

强调一下vector space的条件

v + w 和 CV are in the space

vector space的列向量的线性组合还在vector space中

列空间C(A) colunm space of A

column space of matrix A is all linear combinations of columns

那么究竟是什么样的子空间呢？是整个R^4还是小一点的真子空间？到底有多小？显然不是整个空间，只是一部分（，3个列向量的线性组合无法充满整个4维空间。），在上图中，C(A)是A的列的线性组合。

同方程组量联系起来 Ax = b，对哪些b方程有解？并不是总有解的，因为对于上面的A，有4个方程和3个未知数。什么样的b才能让方程组有解？如b=全0，b是A中的某一列，也可以先把x列出来，然后去求b，也即有解的b的条件及是b是A的列空间的向量，因为Ax即A列的线性组合。

此外，观察一下，这3列向量是线性相关的，去掉某一列仍然可以组成之前的向量空间，如列三

C(A)是R^4的一个2维的subspace。

零空间N(A) null space of A

还是用A来举例子N(A)，null space是一个很特殊的space，null space of A = all solutions x to Ax=0

首先从x可以看出，是R^3中的空间，下面来看看解有哪些，零向量显然是，又如[1, 1, -1]，扩展为，即一条直线c[1, 1, -1]，是一个subspace，可以通过前面的条件来check，比较简单，如下，假设v和w在零空间，Av = 0，Aw = 0，则A（v+w）= 0，那么v+w也在零空间，数乘类似

向量空间的关键

对于某个b，非0，不再考虑null space

如果有解，解构成子空间吗？显然不构成，因为显然的解中不包含原点，因此不是向量空间

那么是什么样的呢？[1, 0, 0]是一个解，[0, -1, 1]也是一个解，他们可能是一个不穿过原点的直线或者平面

总结，两种得到subspace的方法

可以从几个向量，通过线性组合，得到b，列空间

也可以从一个方程组中让x满足某种条件来找到子空间，如Ax=0，得到x，零空间。

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线性代数-5：转置-置换-向量空间R

本节的内容有三部分

• 置换permutations


• 转置transpose


• 然后真正进入线代的大门，向量空间

Permutations

置换矩阵P，用来完成行互换的矩阵（如消元，遇到主元为0的时候），之前我们做的A=LU分解，是假设了没有行变化，这里面的P本质上相当于单位阵，限制取消限制，怎么做？

PA = LU，先做P变化，将A变成主元不会出现0的情况，这样LU可以和以前一样，因此P是关键，P = identity matrix with reordered rows

有n！种n * n的置换阵，一些性质，而且都可逆，并且逆矩阵于其转置相等PT * P = I

Transpose

转置（后续为了方便，记做P’，像matlab一样）

行列互换，共识如下

相关的一个应用广泛的矩阵是对称矩阵，对称矩阵（A’ = A），转置不变性

可以轻易造一个对称阵出来，如将上面的A’ * A，R’R is always symmetric，例子

理论上证明(R’R)’ = R’(R’)’ = R’R

向量空间R

Vector spaces

举例R^2，是一个平面，所有2维向量组成的空间，所有向量空间必须包括原点，向量运算结果页在该向量所在的空间

R^n 包含所有的n维向量，这里的向量都是column vector

性质：数乘，向量加法，取线性组合依然在R^n中，即封闭的

R^2的一个部分不能称为向量空间，比如第一象限，只有整数，运算不是封闭的

我们关注的更多的是R^n的子空间，它不是整个R^n，但是满足向量空间的性质，如在R^2中的一条过原点的直线，满足向量空间的性质，就是向量空间，这就是子空间的一个例子。但是不过原点的就不是，因为数乘0得到的是原点

subspace of R^2

1. all of R^2本身


2. 过原点的直线


3. 原点

R^3的比较类似，比如过原点的面和直线，其他，如在R^3中

取两列向量的所有线性组合，可以得到一个向量空间，叫column space C(A)，结果是整个平面（在这个维度很自然可以看出，高维较难），当然通过原点。

本讲的核心，列向量的线性组合可以构成向量子空间

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线性代数-3：矩阵的乘法和逆

本节课内容，矩阵的五种乘法，以及用Gauss-Jordan方法求矩阵的逆

矩阵的乘法

有五种乘法，结果显然是一致的，矩阵相乘的前提，如AB，A的列和B的行要相等，C = AB，A拥有m行，n列；B拥有n行，p列；而C就会有m行，p列

1. 最常见的乘法，行 * 列

2. 矩阵 * 列的方法

我们都知道，矩阵*向量得到向量。A*B的列1，得到C的列1，其余的部分不参与次运算，A*B的列2，得到C的列2，扩展开来，C中的列是A中的列的线性组合，矩阵乘法可以看做是A与一个个列相乘的p个向量组合在一起。而A乘以向量，等价于A中列的线性组合，而向量B的列说明了如何组合，这点很重要。在linear regression，的feature的组合中经常用到这种解释，A的列对应某一维特征的值，而向量则表明了每一维特征的权重。

3. 行 * 矩阵的方法

同上面的方法比较类似，即C中的行，是B中的行的线性组合

4. 列 * 行的相加

这算是一种比较非主流的方法，没列 * 行得到一个矩阵，多个矩阵相加得到最终相乘的结果

5. 分块矩阵乘法

第一种方法的拓展，将矩阵划分中多个block，像元素一样使用，记得相乘的block需要能够行列match

矩阵的逆（方阵）

矩阵是否可逆

如A=[1 3| 2 6] （如果取行列式，结果为0，还没学到）

一种解释：

假设A * B = I，I中的列是A中的列的线性组合，显然不可能，所有的线性组合都在直线上，但是1，0不在上面

另一种解释：

if i can find a vector X（非零向量），with AX = 0，这样的A 没有逆，这里可以得到X = [3 , -1]，证明如下：假设AX = 0，而且A有左逆A-1，则 A-1 ( AX) = 0，then X = [0, 0]，矛盾，因此A没有左逆

结论：

singular matrix（即不可逆矩阵）的列能通过线性组合（非零向量X）得到0

如何求得方阵的逆

方法如下 gauss-jordan idea（同时处理两个方程组），A * column j of A-1 = column j of I

求逆和求解方程组类似，尝试将A用消元法（先消元变成上三角阵，然后继续向上消元，即逆向）变成I，而左侧的I随着A做一样的操作，既可以得到A-1，可以检验一下，确实是A的逆

为什么能得到逆？本质上就是矩阵消元的方法，各种E，即E[A I] = [I ？] = [I E]，可以看出EA = I，so E就是A的逆，而右侧的？就是E

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线性代数-2：矩阵消元

本节课的主要内容如下

• elimination 消元


• back-substitution 回代


• elimination matrices 消元矩阵


• matrix multiplication 矩阵乘法

消元

矩阵消元法解方程，也是计算机程序使用的方法；消元法奏效的情况，matrix is a good matrix；使用矩阵消元，既可以知道矩阵是不是一个好矩阵。消元后，回代，即可求解方程

我们本次要解决的AX = b

第一步

消元的目的，消去某个未知变量

先确定第一个主元（pivot）x，如A11，消去方程二和三种中的x，主元行不变，对第二行进行消元（行二减去主元行的某个倍数）

消元的时候可以先不管右侧矩阵，先看左侧（matlab也是这么做的，先算左侧A，再算右侧b）

第二个主元是A22，想消去方程三种的y，即3,2 step

第三个主元是A33

U 上三角矩阵，消元的目的是从A得到U

主元不能为0，为0即fail了，上面的success了，下面讨论下failure的消元，即得不到三个主元

如果0占据了主元的位置，需要做行交换，从下面的方程得到合适的主元，如果某行最终都为0了，则矩阵不可逆（下节课的内容），消元就fail了，行交换解决主元为0的临时问题，但是假如下面也没有可交换的行了，那么消元就fail了

回代

首先将右侧向量带入，将右侧向量放到矩阵中（最右列），即增广矩阵augmented matrix,对这一列的每行做消元时候相同的操作

回代就是把新的矩阵转换成方程组，UX=c算出未知数的值，从下网上，依次算出z y x，是反向的。

消元矩阵

矩阵变化，虽然之前在用矩阵，但是之前的操作，即消元步骤，并不是用矩阵来表示，下面就引入消元矩阵的概念。

矩阵乘法的一些思想

matirx * column = column

row * matrix = row

一步一步来，每次一个消元矩阵，下面是第一个消元矩阵

上图左为elementary matrix 即初等矩阵E21，表示位置目的把2 1 变成0。

然后是第二个消元矩阵

两步，消元就完成了。

其他：

把上面的消元矩阵结合起来如下

上式即矩阵相乘的结合律。

还有另一种初等矩阵，用于交换行的，or 置换，行交换，列交互，都可以使用单位阵来找置换矩阵

置换行的单位阵在左侧，置换列的单位阵在右侧。

同时引入矩阵的逆：

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MIT线性代数-1：方程组的几何解释

本节课主要是从三种几何角度来解释了方程组（或者说matrix于vector的乘法），一种角度是row picture，另一种则是column picture，还有big picture。下面就课程的一些例子做一个summary。

示例1：两个方程组和两个未知数

方程组和对应的matrix如下

方程组和对应的矩阵

row picture： 一次取一行，在平面上作图，每个方程就是一条直线，直线的交点就是方程的解，如下图：

column picture：找到正确的线性组合（linear combination），列向量的线性组合，用两个向量得到第三个向量，如下图

big picture：上面的两个向量的任意组合将得到一个平面，线性组合可以得到b，所有的线性组合得到所有的b，即整个平面（高维为超平面），线代的思想的基础即是线性组合。

示例2：三个方程组和三个未知数

和两个的比较类似，只不过维度多了一维，列一下。

row picture：三个方程对应三个平面，解是三个平面的交点（当然需要三个平面不平行）

column picture：则是三维空间的向量的线性组合

big picture：左侧矩阵不变，不同的线性组合可以构成整个三维空间，即AX = b，不论b是多少，X都有解（对于上图中的A）。而对于更多的方程和未知数，对应更高维度的矩阵A，道理其实是一致的，假如A中的列向量是线性无关的（即相互独立），他们能组成整个维度空间的所有向量，而假如线性有关（即有的列向量可以由其他向量组合而成，则改列向量相当于没有贡献），那么他们只能组成一个平面，甚至以条直线。

矩阵和向量的乘法的理解

AX可以认为是A的线性组合方式理解，计算AX可以像上图一样，以列的线性组合的方式进行，推荐用这种方法来思考，对矩阵的理解有益。

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BLOG接入公益404

无意中看到了自己的404页面，空荡而生硬，联想到了浩哥的404，咱也公益一把，也算是近点微薄之力。

虽然希望渺茫，但是希望这些娃能过得幸福，即使不在亲生父母身边，幸福是最重要的。

公益404

公益404接入地址：http://www.qq.com/404/

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this指针是非左值的表达式

闲逛statckoverflow，有个问题是this指针到底是存在哪里的，栈，堆，还是代码段中？

this表达式

下面有个哥们给出了比较权威的解释：

C++ ISO的规范里面说

In the body of a nonstatic (9.3) member function, the keyword this is a non-lvalue expression whose value is the address of the object for which the function is called.

值得注意的是this并不是一个变量，它是一个表达式，就像1+2一样。而表达式的值可以存在任何地方，栈，寄存器，堆等，具体取决于编译器。即this是一个值为指针的表达式。

lvalue和rvalue

看到了non-lvalue的时候我自然就想到不就是rvalue么，也不知道为啥这么说，为了了解为何这么说（还是木有了解，可能是习惯？），又去看了下lvalue和rvalue，来自51CTO的一篇文章解释的不错，摘抄如下。

术语 “L-Values” 和 “R-Values” 是很容易被搞混的，因为它们的历史渊源也是混淆。他们最初起源是编译器的设计者，从字面上来理解就是表达式左边的值和表达式右边的值。它们的含义一直在演化而名字却没变，现在已经“名”不副“实”了。虽然还是称为left-value 和right-value,但是他们的含义已经大大不同了。

C++ 03 标准上是这样写的： “每一个表达式要么是一个 lvalue，要么就是一个 rvalue。”

记住，lvalue和rvalue是针对表达式而言的。

lvalue 是指那些单一表达式结束之后依然存在的持久对象。例如： obj，*ptr， prt[index]， ++x 都是 lvalue。

rvalue 是指那些表达式结束时（在分号处）就不复存在了的临时对象。例如：1729 ， x + y ， std::string(“meow”) ， 和 x++ 都是 rvalue。

++x 和 x++ 的区别的语义上的区别： 当写 int i = 10 ; 时， i 是一个 lvalue，它实际代表一个内存里的地址，是持久的。 表达式 ++x 也是一个 lvalue，它修改了 x 的值，但还是代表原来那个持久对象。但是，表达式 i++ 却是一个 rvalue，它只是拷贝一份i的初值，再修改i的值，最后返回那份临时的拷贝，那份拷贝是临时对象。 ++i 和 i++ 都递增i，但 ++i 返回i本身，而 i++ 返回临时拷贝。这就是为什么 ++i 之所以是一个 lvalue，而 i++ 是一个 rvalue。

lvalue 与 rvalue 之分不在于表达式做了什么，而在于表达式代表了什么（持久对象或临时产物）。 判断一个表达式是不是 lvalue 的直接方法就是“能不能对表达式取址？”，如果能够，那就是一个 lvalue；如果不能，那就是一个 rvalue。

参考文献

1. Where is the ‘this’ pointer stored in computer memory?


2. C++左值与右值之间共同与不同点解析
   

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好友记-北京小聚会

mark一下，奥特卡同学来北京，6年不见了，感觉没变，依旧阳光，下午到我厂臭美了一番。

晚上，ZYANG和小蔡过来一起吃了个饭，聊得比较尽兴，10点多了，店都关门了才散。

更多的不说了，回忆是挺好的

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google定义广告的Active View

google 最近正在定义一个广告相关的概念，active view，目前是针对display广告的，含义我理解就是一个广告被看见的程度。

根据google 的介绍，和我的理解，做一些解释和预测。

为何有这个定义：

因为投放display广告的广告主最关心的问题是，我的这个广告知否被用户看见了，假如没看见这个impression的钱就打水漂了，假如看见了，直觉上来讲肯定是看的时间越长越好。

如何定义：

大致是基于广告在屏幕上展示的比例和展示的时间。比如，广告有80%以上在屏幕上而且展示时间大于2s可以认为是有效的view。active根据类似的方法把是否view定义成了数值，可以使用展示比例和展示时间两个度量，也可以整合成一个度量。

这个定义能干啥：

根据adwords博客的描述，在viewable的情况下（可以假设展示比例超过一定阈值），展示时间越长的广告的ctr越高。猜测active view未来将会有如下应用：

1. 根据active view将原有的impression一分为二，只有viewable的广告才计费（当然计费会提高），其余的不收费，即cpv

2. 将站点和广告的active view作为一个度量，作为广告展示的评分

3. 广告主可以根据active view的高低来分阶段付费，直觉上就是效果越好给钱越多，而效果好不好由activew view来定义

active view的扩展：

我觉得这个定义最大的意义就是让一个媒介的展示可以度量化，不论是搜索引擎对结果的评估，媒体网站对自己各个部分曝光度的评估都可以借鉴。

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微信公共账户-虫子侃球

假如你对足球感兴趣，那么你可以关注我的微信公共账户-虫子侃球，严格来说，它是个机器人，可以查询五大联赛球队最新比赛结果，以及预告未来几场比赛的时间。本文会先介绍一下这个账号的使用，然后也科普下这个账号的由来和开发。

添加关注

在微信公共账号里面搜索“虫子侃球”即可添加账号，或者扫描下面的二维码

微信公共账号-虫子侃球

主要功能点

1.输入球队名称，查询球队上一场比赛比分和未来比赛时间

虫子侃球-查询球队界面

2.查询联赛球队名单，一方面让用户了解联赛球队名单，另一方面为了让用户正确输入球队名称，同系统一致（后续会升级系统，引入球队名称的同义信息，更方便用户输入）

虫子侃球-查看联赛名单

3.help界面，查看账号如何使用，错误输入也将显示该界面

虫子侃球-帮助信息

公众账号的开发

唠叨几句关于这个公共账号的诞生。

为什么要做

1.最近使用了一些生活相关的公共账号，感觉和app和浏览器对比，得到我想要的东西都更加快捷，清晰，比如天气预报相关的，只需要输入城市名称，不像墨迹天气，要打开刷新一会，而且app还老是有一些通知，同时会常驻内存。

2.我是个足球迷，又是个喜欢折腾的手艺人，作为球迷我迫切想尽快知道我喜爱的球队的信息，同时也想知道对手的信息（想让他们输呗，额，好阴暗）；作为一个手艺人，我对微信公共账号有点兴趣，想折腾折腾。

3.我有很多球迷朋友。

这三点促使我做了这个账号。

怎么做

这个比较简单，我这里简单说下，希望对新手上门公众账号有所帮助

1.首先是申请公众账号，这个需要身份证和手机号码，申请之后就可以配置和使用公众账号了。很多媒体人和公知的公共账号基本上会每天发布一篇文章（我觉得这个限制很好，一方面防止信息泛滥，另一方面可以促进提升质量）。而机器人账号需要使用高级功能。

2.微信高级功能，有编辑模式和开发者模式，编辑模式就是编辑key和value的映射，用户给你发送key，你返回它value，比较固定。而开发者模式则强大的多，可以让用户通过自己的server自定义返回信息。编辑模式和开发者模式不可共存（坑爹，简单的功能其实编辑模式修改更加方便）。

3.开发者模式，这个模式需要首先验证server的网址以便接入，参考微信的例子即可。然后就可以开发业务功能了（这个时候验证信息就可以不返回，而只是做验证了）。

4.虫子侃球的开发，使用php 语言（感谢我老婆对我的大力支持，我之前是个php 盲），目前功能比较单一，我选择了虎扑作为比赛信息的来源。用python处理了五大联赛的的球队名称和虎扑url的映射关系，然后直接放入php的脚本里面，这个只需要每年更新一次即可。接下来就是根据用户的输入返回相应的信息了，当用户输入球队名称命中球队dict，就去相应的虎扑url页面中截取对应的element即可，目前只选择了上一场比赛信息和未来几场比赛信息。

看上去比较简单吧，当然我做的也比较糙

账号的部署

开始把账号部署在了我这个blog所在的空间，由于在美国，响应时间成了问题。第二天改到了sae ，但是这货的开发者认证让我很蛋疼，而且天天要豆豆，一怒之下，不用了；最终选择了我厂的bae （百度应用引擎），用起来还不错，也顺便推荐一下。

账号的未来

一点就是把代码给share了，让大家帮我看看bug，另外看看大家都有什么建议，对账号进行改进。还有一点是找个人写点啥，推送给大家，我没那个文采，欢迎大家自荐

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blog 迁移至bluehost

之前一直都在用86的vps，先感谢一下。

迁移到bluehost有三个原因，首先是自己想独立放，不然经常！麻烦别人;二是vps目前我尚不需要，bluehost足以;三是bluehost空间和流量无限，可以折腾玩。

迁移起来并不复杂，将原来的blog的worspress目录备份上传到bluehost，原来的数据库导出。在bluehost需要建立数据库和用户，同时将这些name更新到wp-config.php，然后用phpMyadmin导入数据库。

有一点很重要，因为我不换域名，在新的空间work之前不能把旧的下掉，bliehost提供了临时的url，可以来做测试，而具体的使用可以参考bluehost的帮助，主要就是修改wp-option表对应的siteurl和home。然后就可以测试是否ok，这个时候有的页面和翻页可能有问题，但首页ok即可。

ok后，还有两件事要做，一是修改域名的nameserver，以便域名指向新的空间;二是在wordpress后台设置中将siteurl和home修改回来即可。

中间遇到图片中文乱码问题，手动更新了，后续还是用英文名吧。

迁移后，顺便把主题改了下，以前的感觉比较拥挤，换了个最新wordpress推荐的，还算小清新。

平板码字好痛:’(

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Google的那些不为人知的趣事

从Quora看来的，觉得很有趣，翻译下

1. Google的首页如此简单是主要是因为创始人不懂HTML，开始的时候甚至没有搜索按钮，只能按回车


2. 由于首页太过稀松，开始的测试用户拿到这个页面都不知道干嘛，他们一直在等待后续发生的事情，然后Google在搜索框下面加入了版权相关信息


3. 搜索使用的一个大的是拼写纠错的出现，伴随着““Did you mean…”，搜索的流量double了，而对此有些有意思的讨论，最终决定将这个放在了搜索结果的后面最有效，【但是现实中是在前面啊】


4. “I feel lucky”基本上没有带来流量，仅仅是安慰作用，用户习惯了，不希望没有


5. 社交网站Orkut在巴西很火【总算知道一个了】


6. Google的改变很小而且频繁，抽取一部分流量就开始了测试【小步快跑，小流量，IT长干】


7. Google有世界上最大的翻译者网络


8. 新feature的20%和5%原则，假如有20%的人用，那么就推广开；假如超过5%，假如高级功能“Advanced Preferences”


9. 在用户测试中Google发现，有一小波用户可以作为大众用户的典型代表，这个现象源于实验中的持续监控


10. 本来Google不是这个名字，创始人相交Googol，结果被投资人写错了【尼玛】


11. Gmail在放出来之前在内部使用了2年，他们发现有六种email的用户，而Gmail在设计的时候要满足这六种


12. 对用户反馈很积极，给Google发email并不会杳无音信的


13. 20%时间，众所周知的，不过也有人说20%时间名存实亡的


14. 没有明文说明，但是他们的目标是在500ms以内返回记过【天朝的慢可不是Google的原因，你懂的】